2021年の平成変換

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令和3年と西暦2021年との間の平成変換についてです．

平成変換は京都府の上山秀幸氏が考案したもので，田村三郎が詳細に分析をしました．

田村三郎著『数学パズルランド』，講談社ブルーバックス

すでに令和になっていますが，3から2021への平成変換の方法をプログラムで探しました．

結果として以下のように9ステップの方法が見つかりました．

9 (3を平方の9で置換した)
81 (9を平方の81で置換した)
6561 (81を平方の6561で置換した)
422561 (65を平方の4225で置換した)
42161 (256を平方根の16で置換した)
44161 (2を平方の4で置換した)
416161 (4を平方の16で置換した)
2041 (41616を平方根の204で置換した)
2021 (4を平方根の2で置換した)

解説

上記の本に述べられている定理は以下のとおりです．

すべての自然数は1, 2, 3, 5, 10, 20, 30, 50に平成変換される．

定理の証明を読んで，内容をいいかえると以下のようになります．ただし0…0は，0が1個以上連続していることを表します．

1は，1自身とだけ平成変換可能である．
最後の数字が1, 3, 7, 9の自然数は，1以外なら互いに平成変換可能である．
最後の数字が2, 4, 6, 8の自然数は，互いに平成変換可能である．
最後の数字が5の自然数は，互いに平成変換可能である．
10…0という自然数は，互いに平成変換可能である．
最後の数字が10…0, 30…0, 70…0, 90…0の自然数は， 10…0以外なら互いに平成変換可能である．
最後の数字が20…0, 40…0, 60…0, 80…0の自然数は，互いに平成変換可能である．
最後の数字が50…0の自然数は，互いに平成変換可能である．

では，1, 2, 3, 5, 10, 20, 30, 50に平成変換を行う方法を考えてみましょう．

(変換1) 0を含まない2桁以上を1桁に変換

まず，0を含まない2桁以上の部分を1桁に平成変換する方法を調べます．

0を含んでいないすべての2桁についてプログラムで調べると，以下の表が得られました(最短とは限りません)．なお，上記の本ではもっとエレガントに同じ結果を示しています．

したがって，この変換を繰り返せば0を含んでいない2桁以上の部分を1桁に平成変換できます．

例: 12345 ≡ 2345 ≡ 345 ≡ 25 ≡ 5 (順に上位の2桁を下の表にしたがって変換しています)

数	ステップ数	変換列
11	9	11,121,141,1961,36161,6161,641,81,9,3
12	6	12,14,196,136,16,4,2
13	9	13,169,2569,62569,6169,61681,641,81,9,3
14	5	14,196,136,16,4,2
15	3	15,225,25,5
16	2	16,4,2
17	9	17,149,1481,19681,361681,3641,641,81,9,3
18	8	18,164,44,1936,1336,136,16,4,2
19	9	19,181,16561,4561,2561,62561,6561,81,9,3
21	8	21,41,161,2561,62561,6561,81,9,3
22	7	22,24,216,2256,256,16,4,2
23	8	23,29,841,6441,621,641,81,9,3
24	6	24,216,2256,256,16,4,2
25	1	25,5
26	7	26,46,436,18496,136,16,4,2
27	10	27,249,2481,2231361,22561,2561,62561,6561,81,9,3
28	8	28,264,2616,26256,2256,256,16,4,2
29	7	29,841,6441,621,641,81,9,3
31	9	31,961,8161,841,6441,621,641,81,9,3
32	8	32,34,316,3136,56,256,16,4,2
33	7	33,39,381,3641,641,81,9,3
34	7	34,316,3136,56,256,16,4,2
35	5	35,325,3625,625,25,5
36	8	36,1296,1236,121296,11296,136,16,4,2
37	9	37,1369,1969,19681,361681,3641,641,81,9,3
38	7	38,364,3616,196,136,16,4,2
39	6	39,381,3641,641,81,9,3
41	7	41,161,2561,62561,6561,81,9,3
42	7	42,44,1936,1336,136,16,4,2
43	9	43,23,29,841,6441,621,641,81,9,3
44	6	44,1936,1336,136,16,4,2
45	2	45,25,5
46	6	46,436,18496,136,16,4,2
47	9	47,449,4481,4231361,42561,422561,6561,81,9,3
48	9	48,464,4616,46256,4256,2256,256,16,4,2
49	8	49,29,841,6441,621,641,81,9,3
51	14	51,2601,67601,649601,6481601,648401,62201,62401,649,6481,61681,641,81,9,3
52	8	52,54,2916,2316,23136,256,16,4,2
53	8	53,59,581,33641,3641,641,81,9,3
54	7	54,2916,2316,23136,256,16,4,2
55	7	55,255,65025,650625,6225,625,25,5
56	4	56,256,16,4,2
57	11	57,549,529,5841,336441,33621,3621,621,641,81,9,3
58	8	58,3364,364,3616,196,136,16,4,2
59	7	59,581,33641,3641,641,81,9,3
61	9	61,3721,37441,37241,372161,6161,641,81,9,3
62	7	62,3844,38416,196,136,16,4,2
63	9	63,69,681,66561,662561,62561,6561,81,9,3
64	6	64,616,6256,256,16,4,2
65	3	65,625,25,5
66	9	66,4356,43256,4316,43136,456,256,16,4,2
67	7	67,649,6481,61681,641,81,9,3
68	8	68,664,6616,66256,6256,256,16,4,2
69	8	69,681,66561,662561,62561,6561,81,9,3
71	10	71,491,1691,131,1961,36161,6161,641,81,9,3
72	10	72,492,432,434,4316,43136,456,256,16,4,2
73	8	73,79,6241,6441,621,641,81,9,3
74	9	74,494,434,4316,43136,456,256,16,4,2
75	7	75,5625,25625,1625,425,225,25,5
76	6	76,496,1696,136,16,4,2
77	11	77,5929,5329,73,79,6241,6441,621,641,81,9,3
78	10	78,764,7616,49616,4316,43136,456,256,16,4,2
79	7	79,6241,6441,621,641,81,9,3
81	2	81,9,3
82	10	82,642,622,624,6216,62256,6256,256,16,4,2
83	8	83,89,881,6481,61681,641,81,9,3
84	9	84,644,624,6216,62256,6256,256,16,4,2
85	4	85,645,625,25,5
86	9	86,836,8336,64336,6431296,2536,256,16,4,2
87	10	87,849,8481,81681,841,6441,621,641,81,9,3
88	11	88,864,8616,86256,8256,64256,62256,6256,256,16,4,2
89	7	89,881,6481,61681,641,81,9,3
91	10	91,31,961,8161,841,6441,621,641,81,9,3
92	9	92,32,34,316,3136,56,256,16,4,2
93	8	93,33,39,381,3641,641,81,9,3
94	8	94,34,316,3136,56,256,16,4,2
95	6	95,35,325,3625,625,25,5
96	9	96,36,1296,1236,121296,11296,136,16,4,2
97	10	97,37,1369,1969,19681,361681,3641,641,81,9,3
98	8	98,38,364,3616,196,136,16,4,2
99	7	99,39,381,3641,641,81,9,3

15ステップ以内，9桁以内で探索しました．
最大は51の14ステップでした．

(変換2) 連続して2個以上現れている0を1桁の0に変換

次に，連続して2個以上現れている0を1桁の0に変換する方法を考えます．

aを1桁の数字としてa00という数字の列が現れているとすると，aの部分を平方に置換して，それに00を加えた部分を平方根に置換するとa0となります．

したがって，0が2個以上連続して現れている部分は1桁の0に平成変換できます．

例: 400 ≡ 1600 ≡ 40
例: 94009 ≡ 916009 ≡ 9409

(変換3) 途中に現れている0を取り除く

(変換1)と(変換2)から，すべての自然数は，0でない数字と0とが交互に現れている数に平成変換できることがわかります．たとえば10203や102030などです．0でない数字が連続したり，0が連続することはありません．

では，途中に現れている0を取り除く方法を考えます(最後の0は取り除けません)．

中央に0が現れている3桁の部分を1桁にできれば，途中に現れている0を取り除くことができます (単に0を取り除けば良いのですが，1桁にする方法を探してみます)．

プログラムで調べると，以下の表が得られました(最短とは限りません)．どれも2, 3, 5になっています．なお，上記の本ではもっとエレガントに同じ結果を示しています．

したがって，この変換を繰り返せば途中に現れている0を取り除くことができます．

例: 102030 ≡ 2030 ≡ 30 (順に上位の3桁を下の表にしたがって変換しています)

数	ステップ数	変換列
101	15	101,10201,10401,101601,10201601,10449,10249,329,3841,36441,3621,621,641,81,9,3
102	8	102,104,10816,1166416,11296,136,16,4,2
103	12	103,109,1081,116641,11681,141,1961,36161,6161,641,81,9,3
104	7	104,10816,1166416,11296,136,16,4,2
105	8	105,1025,10225,10245,325,3625,625,25,5
106	6	106,11236,11296,136,16,4,2
107	11	107,11449,1129,11841,116441,14441,381,3641,641,81,9,3
108	10	108,11664,1464,1215296,115296,11236,11296,136,16,4,2
109	11	109,1081,116641,11681,141,1961,36161,6161,641,81,9,3
201	12	201,40401,20401,201601,449,4481,4231361,42561,422561,6561,81,9,3
202	8	202,204,2016,20256,456,256,16,4,2
203	9	203,41209,41461681,4146481,41166481,410881,641,81,9,3
204	7	204,2016,20256,456,256,16,4,2
205	4	205,2025,45,25,5
206	9	206,42436,44436,164436,18436,18496,136,16,4,2
207	10	207,2049,2029,20841,208161,20961,40961,641,81,9,3
208	9	208,2064,20616,206256,20256,456,256,16,4,2
209	10	209,43681,1849681,13681,19681,361681,3641,641,81,9,3
301	13	301,901,8101,6561001,6749,6729,67841,6281,6481,61681,641,81,9,3
302	9	302,304,92416,32416,1816,196,136,16,4,2
303	12	303,309,3081,9492561,94922561,9492161,3492161,372161,6161,641,81,9,3
304	8	304,92416,32416,1816,196,136,16,4,2
305	7	305,93025,33025,39025,390625,625,25,5
306	11	306,93636,8649636,8643636,29436,2918496,29136,23136,256,16,4,2
307	10	307,94249,942481,942231361,9422561,96561,36561,6561,81,9,3
308	12	308,3064,30616,306136,3061696,30625696,175696,1876,18496,136,16,4,2
309	11	309,3081,9492561,94922561,9492161,3492161,372161,6161,641,81,9,3
401	13	401,1601,25601,625601,6225601,621601,62401,649,6481,61681,641,81,9,3
402	8	402,404,163216,169216,1696,136,16,4,2
403	10	403,203,41209,41461681,4146481,41166481,410881,641,81,9,3
404	7	404,163216,169216,1696,136,16,4,2
405	5	405,205,2025,45,25,5
406	9	406,4036,4096,64,616,6256,256,16,4,2
407	9	407,4049,4029,40841,408161,40961,641,81,9,3
408	10	408,4064,40616,406256,40256,20256,456,256,16,4,2
409	10	409,4081,40641,403641,409641,6441,621,641,81,9,3
501	15	501,2501,62501,6225001,6245001,2499,24981,248181,24816561,2484561,222561,422561,6561,81,9,3
502	9	502,504,5016,50256,506256,2256,256,16,4,2
503	11	503,509,5081,506561,5062561,22561,2561,62561,6561,81,9,3
504	8	504,5016,50256,506256,2256,256,16,4,2
505	5	505,5025,50625,225,25,5
506	10	506,5036,25361296,2561296,161296,1636,1696,136,16,4,2
507	12	507,5049,50481,50231361,502561,5062561,22561,2561,62561,6561,81,9,3
508	8	508,5064,50616,506256,2256,256,16,4,2
509	10	509,5081,506561,5062561,22561,2561,62561,6561,81,9,3
601	12	601,361201,3614401,3612401,36149,36129,3616641,361681,3641,641,81,9,3
602	10	602,604,364816,1916,182816,18296,18496,136,16,4,2
603	10	603,609,370881,13690881,1690881,16810881,410881,641,81,9,3
604	9	604,364816,1916,182816,18296,18496,136,16,4,2
605	7	605,36005,6005,60025,245,225,25,5
606	10	606,367236,967236,96721296,311296,3136,56,256,16,4,2
607	12	607,6049,3648169,36168169,364169,3641681,36441,3621,621,641,81,9,3
608	12	608,369664,69664,63664,6664,6440896,64160896,25336,2536,256,16,4,2
609	9	609,370881,13690881,1690881,16810881,410881,641,81,9,3
701	14	701,4901,2901,841001,70561001,70749,70729,707281,841,6441,621,641,81,9,3
702	10	702,704,495616,435616,6616,66256,6256,256,16,4,2
703	13	703,709,7081,706561,7062561,702561,70561,841,6441,621,641,81,9,3
704	9	704,495616,435616,6616,66256,6256,256,16,4,2
705	7	705,7025,70225,265,2625,225,25,5
706	10	706,4906,16906,1306,1705636,18436,18496,136,16,4,2
707	12	707,7049,70481,70231361,702561,70561,841,6441,621,641,81,9,3
708	12	708,7064,70616,706256,70256,702256,2656,26256,2256,256,16,4,2
709	12	709,7081,706561,7062561,702561,70561,841,6441,621,641,81,9,3
801	10	801,641601,621601,62401,649,6481,61681,641,81,9,3
802	11	802,804,646416,64816,648256,648456,62256,6256,256,16,4,2
803	11	803,6403,6203,6209,643681,61849681,613681,61681,641,81,9,3
804	10	804,646416,64816,648256,648456,62256,6256,256,16,4,2
805	7	805,6405,6205,62025,645,625,25,5
806	8	806,8036,8096,640096,2536,256,16,4,2
807	10	807,651249,651229,6512841,65128161,6512961,65361,6561,81,9,3
808	11	808,8064,65028096,650536,6502536,25536,625536,65536,256,16,4,2
809	10	809,6409,6209,643681,61849681,613681,61681,641,81,9,3
901	12	901,8101,6561001,6749,6729,67841,6281,6481,61681,641,81,9,3
902	10	902,302,304,92416,32416,1816,196,136,16,4,2
903	13	903,303,309,3081,9492561,94922561,9492161,3492161,372161,6161,641,81,9,3
904	9	904,304,92416,32416,1816,196,136,16,4,2
905	7	905,819025,99025,39025,390625,625,25,5
906	11	906,820836,820896,840896,8160896,64160896,25336,2536,256,16,4,2
907	10	907,9049,8172169,972169,372169,6169,61681,641,81,9,3
908	12	908,9064,90616,8100616,64100616,641006256,620256,6456,6256,256,16,4,2
909	12	909,309,3081,9492561,94922561,9492161,3492161,372161,6161,641,81,9,3

15ステップ以内，9桁以内で探索しました．

最終結果

以上の(変換1)(変換2)(変換3)を繰り返せば，どんな自然数も1, 2, 3, 5, 10, 20, 30, 50に平成変換できます．