魔方陣

表1は 魔方陣 と呼ばれるものです． 1 から 9 の数がちょうど一回ずつ出ていて， 各行，各列，各対角線について3つ数の和はすべて15になっています． 表1は 3x3 の大きさですが，他の大きさの魔方陣を作ってみましょう．

以下の表を用意します． 4x4 の魔方陣は4方陣，5x5 の魔方陣は5方陣と呼ばれます．

• 4方陣
  

  表2

  A+a	B+b	C+c	D+d
  C+d	D+c	A+b	B+a
  D+b	C+a	B+d	A+c
  B+c	A+d	D+a	C+b

• 5方陣
  

  表3

  A+a	B+b	C+c	D+d	E+e
  D+c	E+d	A+e	B+a	C+b
  B+e	C+a	D+b	E+c	A+d
  E+b	A+c	B+d	C+e	D+a
  C+d	D+e	E+a	A+b	B+c

• 4方陣
  
  1. A,B,C,D に 0,4,8,12 の値を好きな順番で割り当てます．
  2. a,b,c,d に 1,2,3,4 の値を好きな順番で割り当てます．
  3. 表2に計算した値を埋めると，魔方陣ができます．

• 5方陣
  
  1. A,B,C,D,E に 0,5,10,15,20 の値を好きな順番で割り当てます．
  2. a,b,c,d,e に 1,2,3,4,5 の値を好きな順番で割り当てます．
  3. 表3に計算した値を埋めると，魔方陣ができます．

• 魔方陣の作り方には色々な方法があります． ここで説明したのは 直交ラテン方陣 を用いるものです．
• 5方陣のパターンは，7方陣，11方陣，13方陣など 6m±1 で表せるサイズにも利用できます． たとえば7方陣の場合，以下のようにします．
  • 1行目に A+a, B+b, C+c, D+d, E+e, F+f, G+g を書きます．
  • 2行目では A の場所を2つ右にずらし，a の場所は3つ右にずらします． つまり F+e, G+f, A+g, B+a, C+b, D+c, E+d を書きます．
  • 3行目以降も同様に A の場所を2つ右にずらし，a の場所は3つ右にずらします．
  • A から G に 0,7,14,21,28,35,42 の値を好きな順番で割り当て， a から g に 1 から 7 の値を好きな順番で割り当てます．
• 4方陣で A=0, B=12, C=8, D=4, a=1, b=4, c=3, d=2 とし， さらにそれぞれに4を加えると， 一番上の行の中央に 20 と 15 が現れて，2015年用の魔方陣になります (B+b+4=20, C+c+4=15)． 自分の生まれた年の魔方陣は作れるでしょうか?